Неархимедов анализ в информатике, физике, биологии
Факультет вычислительной математики и кибернетики

В рамках курса рассматриваются методы прикладного p-адического анализа как междисциплинарной области исследований в контексте его применения, в основном, к задачам информатики (в первую очередь, криптографии), квантовой физики и численным моделям биологии.

p-адические числа были открыты Куртом Гензелем в конце 19-го века и примерно до 1980-х годов оставались чисто математической областью исследований, хотя уже в 1965 году А.Г.Лунц опубликовал в «Проблемах кибернетики» статью «p-адический аппарат теории конечных автоматов», которая не привлекла тогда внимания специалистов по математической кибернетике, информатике, теории автоматов. В 1983 году академик В.С.Владимиров и И.В.Волович (ныне член-корреспондент РАН) в своей работе «Суперанализ I. Дифференциальное исчисление», опубликованной в журнале «Теоретическая математическая физика», указали на возможность применения p-адических чисел и развитого к тому времени математического аппарата p-адического анализа к задачам квантовой теории поля, в 1987 году И.В.Волович публикует работу «p-adic string» в журнале «Classical and Quantum Gravity», и с этих работ в мире физики началось активное освоение новых для этой области чисел, p-адических, и применение p-адического анализа к физическим задачам. Так появилась и стала развиваться p-адическая математическая физика, получившая совсем недавно самое серьезное признание: Нобелевскую премию 2021 года по физике получил итальянский физик Г.Паризи за создание теории спиновых стекол, основанной на математическом аппарате p-адического анализа.

Физикой прикладное применение p-адического анализа не ограничилось. В 1994 году В.С.Анашин в журнале «Математические заметки» опубликовал статью «Равномерно распределенные последовательности целых р-адических чисел», в которой было, в частности, указано, что базисные команды современных процессоров, такие как арифметические операции и поразрядные логические операции, являются непрерывными в p-адической метрике при p=2, а стало быть, непрерывными в этой метрике являются и программы, являющиеся композициями этих операций. Это дало возможность использовать аппарат p-адического анализа для построения компьютерных программ (в частности, генераторов псевдослучайных последовательностей) с заданными характеристиками для применения к различным задачам информатики (криптографии, анализа данных, в том числе изображений, нейронных сетей и др.). Более того, поскольку каждый автомат c алфавитом из p символов задает функцию, являющуюся непрерывной в p-адической метрике, то аппарат p-адического анализа и основанной на нем p-адической динамики стало возможным применять и к тем прикладным задачам, которые допускают формулировку в терминах автоматов. А это огромный класс задач, начиная от смарт-контрактов цифровой экономики и до модели работы рибосомы, преобразующей ДНК в белок. Эти результаты вошли в монографию V.Anashin, A.Khrennikov «Applied Algebraic Dynamics», опубликованную в 2009 году старейшим немецким издательством DeGruyter.

В настоящее время p-адическая математика и ее приложения представляют собой интенсивно развивающуюся область науки, по которой публикуется много работ, каждые 2 года организуется в разных странах представительная международная конференция «p-adic mathematical physics and its applications», в которой принимают участие 50-100 исследователей со всего мира, издается международный журнал «p-adicnumbers, ulrametric analysis, and applications».

Курс рассчитан на тех, кто имеет базисные знания по классическому анализу (сходимость, непрерывность, дифференцирование), теории чисел (фактически, нужны будут только сравнения по модулю числа), информатике (представления чисел в различных системах счисления). Все остальное будет рассказано на лекциях, а именно, что такое p-адические числа и почему они неархимедовы, и что наши компьютеры «живут» в неархимедовом мире 2-адических чисел, почему детерминированные функции (задаваемые автоматами), которые приводят в курсе дискретной математике как примеры дискретных функции, оказываются непрерывными в p-адической метрике, как строить автоматы с заранее заданными свойствами, используя p-адический анализ, о смарт-контрактах, о случайности, детерминированности, дискретности и непрерывности в квантовой теории, о рибосоме, которая работает по 2-адическим законам.

Целью курса является, кроме всего прочего, развитие гибкости мышления: слушатели поймут, что бывают шары ненулевого радиуса, в которых каждая внутренняя точка является их центром, что отрезок, приложенный сам к себе несколько раз, может укоротиться, и многое другое, что противоречит привычным взглядам, но тем не менее является не математическим «вывертом», а одной из сторон реальности.